Áreas y Perímetros

Polígonos

Perímetro

El calculo del perímetro de un polígono, es tan sencillo que solamente hay que realizar la suma de todos los lados de la figura.

Ejemplo

Área

La superficie de una región plana comprendida entre una linea poligonal cerrada o una circunferencia, por lo cual a la superficie lo llamamos área y se expresa en unidades de superficie, la unidad básica de la superficie es el metro cuadrado.

Dado que existen diferentes polígonos el calculo de su superficie es diferente.

Ejemplo

Formulas de los polígonos

Propiedades de los polígonos

Un polígono con n lados, tiene como suma de su ángulos internos 180°(n-2), ya que se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n-2) triángulos en el polígono, recordando que la suma de los ángulos internos de un triangulo son 180°. en consecuencia la suma de los ángulos internos del polígono es la suma de los triángulos formados en el polígono.

Para calcular el valor interno de un angulo en un polígono se utiliza la siguiente formula:

Angulo interior = ((n-2)(180°))/n

El polígono tiene en sus ángulos externos 360° y para calcular cada angulo se utiliza la siguiente formula:

Angulo exterior = 360/n

Un polígono cuenta con diagonales dependiendo de los n lados que tenga y se calculan utilizando la formula:

Diagonal = (n(n-3))/2

Ejemplo

Podemos observar que la siguiente figura es un pentágono al cual se le va a calcular el angulo interno, externo y sus diagonales.

Poligonos

Polígonos

Son figuras en un plano que pueden ser representados de distintas maneras, así mismo este debe ser cerrado, es decir ninguna de su partes debe de quedar abierta.

Un polígono esta compuesta de lineas que no deben de ser curvas cerradas (ejemplo el circulo no es un polígono), pero si de curvilíneas y se clasifican de la siguiente manera.

Cóncavos

Son aquellos que tienen una hendidura en alguno de sus lados y tiene un angulo de mas de 180°.

Convexos

Son figuras que están enteras y sin hendiduras y todos sus ángulos miden menos de 180°.

Simple

Son aquellos en los que ninguno de sus lados choca contra el otro.

Complejos

Son aquellas en donde uno de sus lados choca con otro, por lo cual parece estar separado o dividido.

Regular

Todos sus lados poseen la misma medida.

Irregular

Son aquellas que parecen torcidas y es que uno o mas de sus lados no son iguales.

Propiedades 

Los polígonos tienen propiedades las cuales vamos a definir:

Lados: Lineas que conforman el polígono

Vértices: Punto que une los lados.

Apotema: Linea que va desde el centro del polígono hasta la mitad de sus partes.

Diagonales: Lineas que unen los vértices no consecutivos.

Perímetro: La suma de todos los lados.

Área: El espacio interior de un polígono.

Angulo interno: Dos lados de su interior forman el angulo, el polígono puede tener varios ángulos.

Angulo externo: Es el angulo formado por un lado del polígono y posee dos ángulos exteriores.

Angulo entrante: Es un angulo interno que mide mas de 180°.

Angulo saliente: Es un angulo interno que mide menos de 180°.

Centro: Es el punto medio donde se puede originar un polígono.

Clasificación de los polígonos según su lado

Triángulo	Cuadrilátero	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octógono	Eneágono	Decágono	Endecágono	Dodecágono
3 lados	4 lados	5 lados	6 lados	7 lados	8 lados	9 lados	10 lados	11 lados	12 lados

Actividad

• Dibujar las figuras de la clasificación de los polígonos por sus lados, dibujar 15 cóncavos, 15 convexos, en el cuaderno y escanearlos.
• Contestar la siguiente encuesta. https://forms.gle/Xaaqhb4SSVPkNnzf7

Triangulos

Triángulos

Ley de seno y coseno 

 Establece que cualquier triangulo que no contenga un lado recto puede ser resuelto bajo la ley de seno y coseno siempre y cuando se conozcan ciertas características o reglas.

1. Conocer dos ángulos y un lado, (AAL).
2. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, (LLA).
3. Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, (LAL).
4. Conocer todos sus lados, (LLL).

 Ley de seno

Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejemplo

De un triangulo conocemos los siguientes elementos: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Encontrar los elementos restantes.

Como primer punto hay que encontrar el valor de "A" o cualquier valor del angulo que falte siempre y cuando sea el caso, esto lo realizaremos de la siguiente manera:

• 180° - 45° - 105° = 30°

Nota: Recuerde que todo triangulo internamente mide 180°.

Una vez realizado esto usaremos la ley de seno identificando los valores que tenemos; en este caso ya contamos con la medida de un lado y los tres ángulos.

• a/seno A = b/Seno B = 6/Seno 30° = b/Seno 45°

posteriormente realizamos un despeje para buscar el valor que falta.

• b = 6*( Seno45°/Seno30°) = 8.49 m

Para buscar el valor de c realizamos el mismo procedimiento.

• c = 6*(Seno105°/Seno30°) = 11.59 m.

Ejercicios 

Realizar los siguientes triángulos completando los elementos faltantes.

1. Del siguiente triangulo conocemos las siguientes medidas: b = 15 m, B = 42° y C = 76°
2. Del siguiente triangulo conocemos las siguientes medidas; a = 24 cm, B = 33° y A = 108°
3. Un triangulo oblicuángulo tiene las siguientes medidas; c = 28 cm, A = 69° y B = 35°
4. Un triangulo oblicuángulo tiene las siguientes medidas; b = 57 cm, c = 35 cm y B = 42°

Ley Coseno 

En un triangulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman.
Por lo cual se utilizan las siguientes formulas.

1. a² = b² + c²  – 2bc * cos A
2. b² = a² + c² – 2ac * cos B
3. c² = a² + c² – 2ab + cos C

Ejemplo

Tenemos las medidas del siguiente triangulo; a = 13 cm, c = 19 cm y B = 55°.

Para resolver el triangulo primero debemos identificar los valores que se nos proporcionan revisando las formulas ya mencionadas, en este caso utilizaremos la segunda formula.

• b² = a² + c² – 2ac * cos B = b² = (13)² + (19)² – 2(13)(19) * cos 55°

Resolvemos las operaciones:

• b² = 169+ 361 – 494 * cos 55°
• b² = 530 – 283.34
• b² = 246.66
• b = 15.70       Nota: Recuerde que la exponencial al moverse de posición se vuelve una raíz

Ahora ya contamos con los tres lados, por lo cual hay que buscar los ángulos A y C, para realizar esto despejaremos cualquiera de las formulas, en este caso los que contienen coseno de A y C.

• cos A = (b² + c² – a² ) / 2bc
• cos A = (15.70² + 19² – 13² ) / 2(15.70)(19)
• cos A = (246.49 + 361 - 169) / 596.6
• cos A = 438.49 / 596.6
• cos A = 0.7350
• cos A = cos^–1 0.7350
• cos A = 42.69°

Para sacar el siguiente ángulo podemos despejar la tercera formula o realizar una simple resta.

• 180° - 42.69° - 55° = 82.31

Ejercicios

Resuelva los siguientes triángulos encontrando los elementos faltantes.

1. Se tienen las medidas del siguiente triangulo; a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm.
2. Se tienen las medidas del siguiente triangulo; A = 57.36°, b = 9 cm y c = 15 cm.
3. Un ingeniero topógrafo que se le olvido llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto a como muestra la figura. ¿Que distancia hay entre los dos edificios?

Congruencia y semejanza de triángulos

Congruencia 

Un triangulo es congruente o igual a otro si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente igual a otro. Para saber que se cumple la igualdad de triángulos, solo necesitamos que se cumplan ciertos elementos.

Observemos la siguiente figura.

1. Dos triángulos que tienen dos lados iguales y un angulo igual.
2. Dos triángulos tienen un lado igual y dos ángulos.
3. Dos triángulos tienen todos sus lados iguales 

Semejanza

Se dice que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma asi como ciertas características, por lo cual cuando nos referimos a triángulos decimos que son semejantes porque tienen ángulos respectivamente iguales así como sus lados correspondientes proporcionales.

Observemos la siguiente figura.

Para que un triángulo sea semejante se deben cumplir ciertas reglas

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2. Dos triángulos son semejantes si tienen un angulo igual y dos de sus lados proporcionales.
3. Dos triángulos son semejantes si todos sus lados son proporcionales.
4. Si desde el vértice del angulo recto se traza una perpendicular hasta la hipotenusa.

La semejanza tiene un gran uso en la vida cotidiana ya que se utiliza para hacer la comparación de elementos a escala como en la arquitectura.

Ejemplos:

Actividad

Realiza los siguientes ejercicios en el cuaderno, los ejercicios deberán ser entregados mañana antes de las 2:00 pm 

• Calcule la longitud de los siguientes triángulos

• Calcule la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 metros en el momento que otro árbol que mide 2.5 metros proyecta una sombra de 4 metros.

• En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
• Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
• Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente. Calcula el perímetro del parterre.