Trigonometría

Trigonometría

La trigonometría se basa en la semejanza de triángulos; esto es si dos triángulos tienen sus lados proporcionales todos sus ángulos deben ser iguales, por lo cual para calcular estos ángulos utilizamos funciones trigonométricas.

Medición de ángulos

Tomemos dos semirrectas OA y OB a cuyo punto en común es O, la semirrecta OA se le conoce como inicial y a la semirrecta OB como la final o generatriz, como se muestra en la siguiente figura.

Para medir un angulo es necesario contar con una unidad de medida, en este caso utilizaremos el sistema sexagesimal; el cual consiste de la siguiente manera:

Tenemos un angulo de 90° al cual podemos dividir en 90 partes iguales a las cuales llamaremos grados, cada grado se divide en 60 partes iguales a los cuales llamaremos minutos y cada minuto dividido en 60 partes se llama segundo.

Cada angulo se determina conociendo sus grados, minutos y segundos y la notación que utilizan es la siguiente °,´, y ".

Ejemplo

1. Un angulo recto mide 90 grados y se escribe de la siguiente manera 90°.
2. Cada angulo de un triangulo equilátero mide 60°.
3. Para indicar que un angulo mide 35 grados, 21 minutos y 14 segundos se representa de la siguiente forma 35°21´14"
4. Si el angulo agudo de un triangulo rectángulo mide 25°25´14"¿Cuanto mide el otro angulo?

Solución

Debemos tomar en cuenta que los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios, es decir, suman 90° por lo cual calculamos:

90°-(25°25´14"

Para poder efectuar la resta hacemos que los 90° se transformen en 89°59´60"; entonces

90° - (25°25´14") = (89°59´60") - (25°25´14") = 64°34´35"

por lo tanto el angulo mide 64°34´35"

Una forma de expresar la medición de los ángulos en grados es expresarla en fracciones de grados a decimales, es decir dividir en décimos, centésimos, milésimos etc.
Para convertir minutos y segundos a decimales utilizaremos una regla de tres.

60 minutos ----------- 1° grado

m minutos -------- g grados

de donde obtenemos que 1´ = 1°/60 = 0.016667,

y la regla para segundos es 

3600 segundos ----------- 1° grado

s segundos ---------- g grados 

de donde obtenemos 1" = 1°/3600 = 0.000278.

Ejemplo

Escribir 35°21´14" en expresión decimal.

Solución 

Dejamos los 35° grados tal y como están y trabajaremos con los 21´y 14" 

21´= 21/60 = 0.35° y 14" = 14/3600 = 0.0039°

entonces queda como 

35°21´14" = 35.3539°

Ejemplo 

Escribir 32.5892° en grados, minutos y segundos.

Solución 

Nos quedamos con la parte entera que es 32° y utilizaremos .5892 grados a minutos 

0.5892 grados = 0.5892 * 60 = 35.352 minutos;

una vez realizado esto volvemos a quedarnos con la parte entera y trabajamos con .352 minutos a segundos:

0.352 minutos = 0.352 * 60 = 21.12 segundos

quedando de la siguiente manera

23.5892° = 32°35´21"

Actividad:

Convertir los siguientes grados a expresión decimal.

1. 25°15´18"
2. 105°59´59"
3. 4°30´05"
4. 259°60´60"
5. 75°45´45"
6. 2°02´02"
7. 5°50´35"
8. 115°25´60"
9. 265°35´47"
10. 26°10´18"

Convertir las siguientes expresiones decimales a grados.

1. 12.5698°
2. 35.5649°
3. 65.0056°
4. 150.5459°
5. 25.3560°
6. 59.5857°
7. 200.5802°
8. 16.1616°
9. 69.4224°
10. 315.2554°

Trigonometría y el angulo agudo del triangulo rectángulo

Consideremos el triangulo rectángulo de la siguiente imagen

Donde las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos <B y <C son los siguientes:
Seno: Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, donde seno de B se escribe sen B o Sin B y se expresa de la siguiente manera:
sen B = b/a y sen C = c/a.
Coseno: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, se escribe cos y se expresa de la siguiente manera:
cos B = c/a y cos C = b/a.
Tangente: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, se escribe tan y se expresa de la siguiente manera;
tan B = b/c y tan C = c/b.
Cotangente: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, se escribe cot y se expresa de la siguiente manera:
cot B = c/b y cot C = b/c
Secante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, se escribe sec y se expresa:
sec B = a/c y sec C = a/b.
Cosecante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto se escribe csc y se expresa:
csc B = a/b y csc C = a/c

Ejemplo

Dado un triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, calcular las funciones trigonométricas del angulo agudo mayor.

Solución:

Primero buscaremos el valor de la hipotenusa utilizando el teorema de pitágoras

Formula: C² = A² + B²
Sacamos el valor de C 

C² = 6² + 8²

C² = 36 + 64

C² = 100

Sacamos la raíz de 100

C = 10

Observando la figura podemos identificar que el angulo B es el mayor quedando de la siguiente manera la representación de las formulas trigonométricas.

sen B = 8/10 = 0.8, cos B = 6/10 = 0.6, tan B = 8/6 = 1.33, cot B = 6/8 = 0.75, sec B = 10/6 = 1.66 y csc B = 10/8 = 1.25.

Funciones y confusiones trigonométricas de un angulo cualquiera.

Consideremos los ángulos alpha, beta, gamma y delta que en un sistema coordenados tienen su lado terminal en el 1°, 2°, 3° y 4° cuadrante respectivamente, observe la siguiente figura.

Tomando en cuenta su punto terminal, considerando sus coordenadas y su distancia de origen las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera.

Seno Es la razon entre la ordenada y la distancia al origen

Sen α = AE/OA, Sen β = BF/OB, Sen γ = CF/OC y Sen δ = ED/OD

Coseno: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen

Cos α = OE/OA, Sen β = OF/OB, Sen γ = OF/OC y Sen δ = OD/OD

Tangente: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.

Tan α = AE/OE, Tan β = BF/OF, Tan γ = CF/OF y Tan δ = DE/OE

Cotangente: Es la razón entre la abscisa y la ordenada

Cot α = OE/AE, Cot β = OF/BF, Cot γ = OF/CF y Cot δ = OE/DE

Secante: Es la razón entre la distancia y la abscisa

Sec α = OA/OE, Sec β = OB/OF, Sec γ = OC/OF y Sec δ = OD/OE

Cosecante: Es la razón entre la distancia y la ordenada

Csc α = OA/AE, Csc β = OB/BF, Csc γ = OC/CF y Csc δ = OD/ED

Ejemplo

Actividad

Poliedros

Poliedros 

Los poliedros son sólidos delimitados por una superficie cerrada y formada por una región poligonal plana. Cada región poligonal es una cara del poliedro.

Para clasificar los poliedros tenemos diversos criterios, por ejemplo la regularidad y numero de caras que concurren en los vértices, otros criterios son los siguientes

• Inclinación (rectos y oblicuos)
• Poliedros con bases (con una o varias bases)
• Según la construcción del modelo
• Con polígonos regulares (poliedros regulares, semirregulares y deltaedros).
• Con polígonos iguales (poliedros de caras iguales).
• Con vértices iguales.
• Combinaciones de distintos criterios.
• Ejes y planos de simetría, diagonales, ángulos.

Poliedros regulares

Un poliedro regular es aquel que contiene las siguientes características.

• La superficie es convexa
• Las caras son regiones poligonales congruentes
• Tienen las mismas caras en cada vértice

La suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un poliedro que concurren en el mismo vértice deben ser menores a 360° de lo contrario no podrían cerrar el espacio.

Solo existen 5 poliedros regulares los cuales son los siguientes.

• Tetraedro
• Hexaedro o cubo
• Octaedro
• Dodecaedro
• Icosaedro

Los elementos que conforman estos poliedros son los siguientes.

Poliedros	Forma de las caras	No. de caras	Vértices	Aristas
Tetraedro	Triángulos equilateros	4	4	6
Cubo	Cuadrados	6	8	12
Octaedros	Triángulos equilateros	8	6	12
Dodecaedros	Pentágonos	12	20	30
Icosaedros	Triángulos equilateros	20	12	30

Poliedros Irregulares

Los poliedros irregulares con aquellos que cuando los polígonos que los conforman no son todos iguales.

Los principales poliedros irregulares son:

• Pirámides 
• Prismas

Prisma: Esta compuesta por caras laterales rectangulares y bases con forma de triangulo, cuadrado (excepto si las también son cuadradas), pentágono, exagono u otro polígono regular.

Prisma oblicuo: Parecido al prisma, pero con dos lados de forma romboidal, por lo cual solo puede tener bases cuadradas.

Pirámide recta: Compuesto por una base de polígono regular y lados triangulares cuya base son los lados del polígono y unen todos sus vértices en el mismo punto, también llamado vértice de la pirámide.
Pirámide Inclinada: Similar a la anterior pero cuya vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por un centro.

Prismas Redondos

Cono: Compuesta por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

Cono Truncado: Siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.

Cilindro: Compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.

Esfera: Es una superficie esférica formada por el conjunto de puntos en el espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.