Signos trigonométricos

Signos de las funciones trigonométricas.

Los signos se consideran dependiendo la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas siempre es positiva; a continuación veamos la siguiente tabla:

	I	II	III	IV
SENO	+	+	-	-
COSENO	+	-	-	+
TAN	+	-	+	-
COT	+	-	+	-
SEC	+	-	-	+
CSC	+	+	-	-

Como podemos observar los signos para cada elemento de la trigonometría se basan en un plano cartesiano como se muestra en la siguiente imagen.

Funciones trigonométricas del ángulo que limitan el cuadrante

Los ángulos que limitan a un cuadrante son los siguientes 0°, 90°, 180°, 270° y 360° y estos los observaremos con la siguiente imagen.

Observando la imagen las funciones trigonométricas obtienen un valor que se muestra en la siguiente tabla.

	0°	90°	180°	270°	360°
SIN	0	1	0	-1	0
COS	1	0	-1	0	1
TAN	0	no existe	0	no existe	0
COT	no existe	0	no existe	0	no existe
SEC	1	no existe	-1	no existe	1
CSC	no existe	1	no existe	-1	no existe

Estudiando la tabla podemos notar que seno se encuentra entre valores de 1, -1 al igual que el coseno, la tangente tiene valores positivos pero va aumentando indefinidamente al llegar a los 90° pero de 90° a 270° estos se vuelven negativos.

Funciones trigonométricas de ángulos notables

Para entender el uso de de los ángulos notables es necesario conocer los elementos básicos que conforman una circunferencia lo cuales serán mencionados.

Longitud de arco

Debemos de recordar que el arco es una proporción de la circunferencia y se representa de la siguiente manera:

Donde:

• L = Longitud de arco
• θ = Angulo central (Debe estar en radianes)
• R = Longitud del radio 

y su formula es L = θ*R

Ejemplo

Ángulo notable

Los ángulos notables son aquellos que trabajan en conjunto con los triángulos rectángulos ya que en ellos podemos visualizar los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, para poder entender el ángulo notable debemos observar la siguiente imagen.

Estos triángulos representa la manera en la que trabajan o se visualizan los ángulos, a continuación se coloca la tabla del angulo notable.

Trigonometría

Trigonometría

La trigonometría se basa en la semejanza de triángulos; esto es si dos triángulos tienen sus lados proporcionales todos sus ángulos deben ser iguales, por lo cual para calcular estos ángulos utilizamos funciones trigonométricas.

Medición de ángulos

Tomemos dos semirrectas OA y OB a cuyo punto en común es O, la semirrecta OA se le conoce como inicial y a la semirrecta OB como la final o generatriz, como se muestra en la siguiente figura.

Para medir un angulo es necesario contar con una unidad de medida, en este caso utilizaremos el sistema sexagesimal; el cual consiste de la siguiente manera:

Tenemos un angulo de 90° al cual podemos dividir en 90 partes iguales a las cuales llamaremos grados, cada grado se divide en 60 partes iguales a los cuales llamaremos minutos y cada minuto dividido en 60 partes se llama segundo.

Cada angulo se determina conociendo sus grados, minutos y segundos y la notación que utilizan es la siguiente °,´, y ".

Ejemplo

1. Un angulo recto mide 90 grados y se escribe de la siguiente manera 90°.
2. Cada angulo de un triangulo equilátero mide 60°.
3. Para indicar que un angulo mide 35 grados, 21 minutos y 14 segundos se representa de la siguiente forma 35°21´14"
4. Si el angulo agudo de un triangulo rectángulo mide 25°25´14"¿Cuanto mide el otro angulo?

Solución

Debemos tomar en cuenta que los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios, es decir, suman 90° por lo cual calculamos:

90°-(25°25´14"

Para poder efectuar la resta hacemos que los 90° se transformen en 89°59´60"; entonces

90° - (25°25´14") = (89°59´60") - (25°25´14") = 64°34´35"

por lo tanto el angulo mide 64°34´35"

Una forma de expresar la medición de los ángulos en grados es expresarla en fracciones de grados a decimales, es decir dividir en décimos, centésimos, milésimos etc.
Para convertir minutos y segundos a decimales utilizaremos una regla de tres.

60 minutos ----------- 1° grado

m minutos -------- g grados

de donde obtenemos que 1´ = 1°/60 = 0.016667,

y la regla para segundos es 

3600 segundos ----------- 1° grado

s segundos ---------- g grados 

de donde obtenemos 1" = 1°/3600 = 0.000278.

Ejemplo

Escribir 35°21´14" en expresión decimal.

Solución 

Dejamos los 35° grados tal y como están y trabajaremos con los 21´y 14" 

21´= 21/60 = 0.35° y 14" = 14/3600 = 0.0039°

entonces queda como 

35°21´14" = 35.3539°

Ejemplo 

Escribir 32.5892° en grados, minutos y segundos.

Solución 

Nos quedamos con la parte entera que es 32° y utilizaremos .5892 grados a minutos 

0.5892 grados = 0.5892 * 60 = 35.352 minutos;

una vez realizado esto volvemos a quedarnos con la parte entera y trabajamos con .352 minutos a segundos:

0.352 minutos = 0.352 * 60 = 21.12 segundos

quedando de la siguiente manera

23.5892° = 32°35´21"

Actividad:

Convertir los siguientes grados a expresión decimal.

1. 25°15´18"
2. 105°59´59"
3. 4°30´05"
4. 259°60´60"
5. 75°45´45"
6. 2°02´02"
7. 5°50´35"
8. 115°25´60"
9. 265°35´47"
10. 26°10´18"

Convertir las siguientes expresiones decimales a grados.

1. 12.5698°
2. 35.5649°
3. 65.0056°
4. 150.5459°
5. 25.3560°
6. 59.5857°
7. 200.5802°
8. 16.1616°
9. 69.4224°
10. 315.2554°

Trigonometría y el angulo agudo del triangulo rectángulo

Consideremos el triangulo rectángulo de la siguiente imagen

Donde las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos <B y <C son los siguientes:
Seno: Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, donde seno de B se escribe sen B o Sin B y se expresa de la siguiente manera:
sen B = b/a y sen C = c/a.
Coseno: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, se escribe cos y se expresa de la siguiente manera:
cos B = c/a y cos C = b/a.
Tangente: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, se escribe tan y se expresa de la siguiente manera;
tan B = b/c y tan C = c/b.
Cotangente: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, se escribe cot y se expresa de la siguiente manera:
cot B = c/b y cot C = b/c
Secante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, se escribe sec y se expresa:
sec B = a/c y sec C = a/b.
Cosecante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto se escribe csc y se expresa:
csc B = a/b y csc C = a/c

Ejemplo

Dado un triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, calcular las funciones trigonométricas del angulo agudo mayor.

Solución:

Primero buscaremos el valor de la hipotenusa utilizando el teorema de pitágoras

Formula: C² = A² + B²
Sacamos el valor de C 

C² = 6² + 8²

C² = 36 + 64

C² = 100

Sacamos la raíz de 100

C = 10

Observando la figura podemos identificar que el angulo B es el mayor quedando de la siguiente manera la representación de las formulas trigonométricas.

sen B = 8/10 = 0.8, cos B = 6/10 = 0.6, tan B = 8/6 = 1.33, cot B = 6/8 = 0.75, sec B = 10/6 = 1.66 y csc B = 10/8 = 1.25.

Funciones y confusiones trigonométricas de un angulo cualquiera.

Consideremos los ángulos alpha, beta, gamma y delta que en un sistema coordenados tienen su lado terminal en el 1°, 2°, 3° y 4° cuadrante respectivamente, observe la siguiente figura.

Tomando en cuenta su punto terminal, considerando sus coordenadas y su distancia de origen las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera.

Seno Es la razon entre la ordenada y la distancia al origen

Sen α = AE/OA, Sen β = BF/OB, Sen γ = CF/OC y Sen δ = ED/OD

Coseno: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen

Cos α = OE/OA, Sen β = OF/OB, Sen γ = OF/OC y Sen δ = OD/OD

Tangente: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.

Tan α = AE/OE, Tan β = BF/OF, Tan γ = CF/OF y Tan δ = DE/OE

Cotangente: Es la razón entre la abscisa y la ordenada

Cot α = OE/AE, Cot β = OF/BF, Cot γ = OF/CF y Cot δ = OE/DE

Secante: Es la razón entre la distancia y la abscisa

Sec α = OA/OE, Sec β = OB/OF, Sec γ = OC/OF y Sec δ = OD/OE

Cosecante: Es la razón entre la distancia y la ordenada

Csc α = OA/AE, Csc β = OB/BF, Csc γ = OC/CF y Csc δ = OD/ED

Ejemplo

Actividad

Poliedros

Poliedros 

Los poliedros son sólidos delimitados por una superficie cerrada y formada por una región poligonal plana. Cada región poligonal es una cara del poliedro.

Para clasificar los poliedros tenemos diversos criterios, por ejemplo la regularidad y numero de caras que concurren en los vértices, otros criterios son los siguientes

• Inclinación (rectos y oblicuos)
• Poliedros con bases (con una o varias bases)
• Según la construcción del modelo
• Con polígonos regulares (poliedros regulares, semirregulares y deltaedros).
• Con polígonos iguales (poliedros de caras iguales).
• Con vértices iguales.
• Combinaciones de distintos criterios.
• Ejes y planos de simetría, diagonales, ángulos.

Poliedros regulares

Un poliedro regular es aquel que contiene las siguientes características.

• La superficie es convexa
• Las caras son regiones poligonales congruentes
• Tienen las mismas caras en cada vértice

La suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un poliedro que concurren en el mismo vértice deben ser menores a 360° de lo contrario no podrían cerrar el espacio.

Solo existen 5 poliedros regulares los cuales son los siguientes.

• Tetraedro
• Hexaedro o cubo
• Octaedro
• Dodecaedro
• Icosaedro

Los elementos que conforman estos poliedros son los siguientes.

Poliedros	Forma de las caras	No. de caras	Vértices	Aristas
Tetraedro	Triángulos equilateros	4	4	6
Cubo	Cuadrados	6	8	12
Octaedros	Triángulos equilateros	8	6	12
Dodecaedros	Pentágonos	12	20	30
Icosaedros	Triángulos equilateros	20	12	30

Poliedros Irregulares

Los poliedros irregulares con aquellos que cuando los polígonos que los conforman no son todos iguales.

Los principales poliedros irregulares son:

• Pirámides 
• Prismas

Prisma: Esta compuesta por caras laterales rectangulares y bases con forma de triangulo, cuadrado (excepto si las también son cuadradas), pentágono, exagono u otro polígono regular.

Prisma oblicuo: Parecido al prisma, pero con dos lados de forma romboidal, por lo cual solo puede tener bases cuadradas.

Pirámide recta: Compuesto por una base de polígono regular y lados triangulares cuya base son los lados del polígono y unen todos sus vértices en el mismo punto, también llamado vértice de la pirámide.
Pirámide Inclinada: Similar a la anterior pero cuya vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por un centro.

Prismas Redondos

Cono: Compuesta por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

Cono Truncado: Siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.

Cilindro: Compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.

Esfera: Es una superficie esférica formada por el conjunto de puntos en el espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.

Áreas y Perímetros

Polígonos

Perímetro

El calculo del perímetro de un polígono, es tan sencillo que solamente hay que realizar la suma de todos los lados de la figura.

Ejemplo

Área

La superficie de una región plana comprendida entre una linea poligonal cerrada o una circunferencia, por lo cual a la superficie lo llamamos área y se expresa en unidades de superficie, la unidad básica de la superficie es el metro cuadrado.

Dado que existen diferentes polígonos el calculo de su superficie es diferente.

Ejemplo

Formulas de los polígonos

Propiedades de los polígonos

Un polígono con n lados, tiene como suma de su ángulos internos 180°(n-2), ya que se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n-2) triángulos en el polígono, recordando que la suma de los ángulos internos de un triangulo son 180°. en consecuencia la suma de los ángulos internos del polígono es la suma de los triángulos formados en el polígono.

Para calcular el valor interno de un angulo en un polígono se utiliza la siguiente formula:

Angulo interior = ((n-2)(180°))/n

El polígono tiene en sus ángulos externos 360° y para calcular cada angulo se utiliza la siguiente formula:

Angulo exterior = 360/n

Un polígono cuenta con diagonales dependiendo de los n lados que tenga y se calculan utilizando la formula:

Diagonal = (n(n-3))/2

Ejemplo

Podemos observar que la siguiente figura es un pentágono al cual se le va a calcular el angulo interno, externo y sus diagonales.

Poligonos

Polígonos

Son figuras en un plano que pueden ser representados de distintas maneras, así mismo este debe ser cerrado, es decir ninguna de su partes debe de quedar abierta.

Un polígono esta compuesta de lineas que no deben de ser curvas cerradas (ejemplo el circulo no es un polígono), pero si de curvilíneas y se clasifican de la siguiente manera.

Cóncavos

Son aquellos que tienen una hendidura en alguno de sus lados y tiene un angulo de mas de 180°.

Convexos

Son figuras que están enteras y sin hendiduras y todos sus ángulos miden menos de 180°.

Simple

Son aquellos en los que ninguno de sus lados choca contra el otro.

Complejos

Son aquellas en donde uno de sus lados choca con otro, por lo cual parece estar separado o dividido.

Regular

Todos sus lados poseen la misma medida.

Irregular

Son aquellas que parecen torcidas y es que uno o mas de sus lados no son iguales.

Propiedades 

Los polígonos tienen propiedades las cuales vamos a definir:

Lados: Lineas que conforman el polígono

Vértices: Punto que une los lados.

Apotema: Linea que va desde el centro del polígono hasta la mitad de sus partes.

Diagonales: Lineas que unen los vértices no consecutivos.

Perímetro: La suma de todos los lados.

Área: El espacio interior de un polígono.

Angulo interno: Dos lados de su interior forman el angulo, el polígono puede tener varios ángulos.

Angulo externo: Es el angulo formado por un lado del polígono y posee dos ángulos exteriores.

Angulo entrante: Es un angulo interno que mide mas de 180°.

Angulo saliente: Es un angulo interno que mide menos de 180°.

Centro: Es el punto medio donde se puede originar un polígono.

Clasificación de los polígonos según su lado

Triángulo	Cuadrilátero	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octógono	Eneágono	Decágono	Endecágono	Dodecágono
3 lados	4 lados	5 lados	6 lados	7 lados	8 lados	9 lados	10 lados	11 lados	12 lados

Actividad

• Dibujar las figuras de la clasificación de los polígonos por sus lados, dibujar 15 cóncavos, 15 convexos, en el cuaderno y escanearlos.
• Contestar la siguiente encuesta. https://forms.gle/Xaaqhb4SSVPkNnzf7

Triangulos

Triángulos

Ley de seno y coseno 

 Establece que cualquier triangulo que no contenga un lado recto puede ser resuelto bajo la ley de seno y coseno siempre y cuando se conozcan ciertas características o reglas.

1. Conocer dos ángulos y un lado, (AAL).
2. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, (LLA).
3. Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, (LAL).
4. Conocer todos sus lados, (LLL).

 Ley de seno

Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejemplo

De un triangulo conocemos los siguientes elementos: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Encontrar los elementos restantes.

Como primer punto hay que encontrar el valor de "A" o cualquier valor del angulo que falte siempre y cuando sea el caso, esto lo realizaremos de la siguiente manera:

• 180° - 45° - 105° = 30°

Nota: Recuerde que todo triangulo internamente mide 180°.

Una vez realizado esto usaremos la ley de seno identificando los valores que tenemos; en este caso ya contamos con la medida de un lado y los tres ángulos.

• a/seno A = b/Seno B = 6/Seno 30° = b/Seno 45°

posteriormente realizamos un despeje para buscar el valor que falta.

• b = 6*( Seno45°/Seno30°) = 8.49 m

Para buscar el valor de c realizamos el mismo procedimiento.

• c = 6*(Seno105°/Seno30°) = 11.59 m.

Ejercicios 

Realizar los siguientes triángulos completando los elementos faltantes.

1. Del siguiente triangulo conocemos las siguientes medidas: b = 15 m, B = 42° y C = 76°
2. Del siguiente triangulo conocemos las siguientes medidas; a = 24 cm, B = 33° y A = 108°
3. Un triangulo oblicuángulo tiene las siguientes medidas; c = 28 cm, A = 69° y B = 35°
4. Un triangulo oblicuángulo tiene las siguientes medidas; b = 57 cm, c = 35 cm y B = 42°

Ley Coseno 

En un triangulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman.
Por lo cual se utilizan las siguientes formulas.

1. a² = b² + c²  – 2bc * cos A
2. b² = a² + c² – 2ac * cos B
3. c² = a² + c² – 2ab + cos C

Ejemplo

Tenemos las medidas del siguiente triangulo; a = 13 cm, c = 19 cm y B = 55°.

Para resolver el triangulo primero debemos identificar los valores que se nos proporcionan revisando las formulas ya mencionadas, en este caso utilizaremos la segunda formula.

• b² = a² + c² – 2ac * cos B = b² = (13)² + (19)² – 2(13)(19) * cos 55°

Resolvemos las operaciones:

• b² = 169+ 361 – 494 * cos 55°
• b² = 530 – 283.34
• b² = 246.66
• b = 15.70       Nota: Recuerde que la exponencial al moverse de posición se vuelve una raíz

Ahora ya contamos con los tres lados, por lo cual hay que buscar los ángulos A y C, para realizar esto despejaremos cualquiera de las formulas, en este caso los que contienen coseno de A y C.

• cos A = (b² + c² – a² ) / 2bc
• cos A = (15.70² + 19² – 13² ) / 2(15.70)(19)
• cos A = (246.49 + 361 - 169) / 596.6
• cos A = 438.49 / 596.6
• cos A = 0.7350
• cos A = cos^–1 0.7350
• cos A = 42.69°

Para sacar el siguiente ángulo podemos despejar la tercera formula o realizar una simple resta.

• 180° - 42.69° - 55° = 82.31

Ejercicios

Resuelva los siguientes triángulos encontrando los elementos faltantes.

1. Se tienen las medidas del siguiente triangulo; a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm.
2. Se tienen las medidas del siguiente triangulo; A = 57.36°, b = 9 cm y c = 15 cm.
3. Un ingeniero topógrafo que se le olvido llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto a como muestra la figura. ¿Que distancia hay entre los dos edificios?

Congruencia y semejanza de triángulos

Congruencia 

Un triangulo es congruente o igual a otro si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente igual a otro. Para saber que se cumple la igualdad de triángulos, solo necesitamos que se cumplan ciertos elementos.

Observemos la siguiente figura.

1. Dos triángulos que tienen dos lados iguales y un angulo igual.
2. Dos triángulos tienen un lado igual y dos ángulos.
3. Dos triángulos tienen todos sus lados iguales 

Semejanza

Se dice que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma asi como ciertas características, por lo cual cuando nos referimos a triángulos decimos que son semejantes porque tienen ángulos respectivamente iguales así como sus lados correspondientes proporcionales.

Observemos la siguiente figura.

Para que un triángulo sea semejante se deben cumplir ciertas reglas

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2. Dos triángulos son semejantes si tienen un angulo igual y dos de sus lados proporcionales.
3. Dos triángulos son semejantes si todos sus lados son proporcionales.
4. Si desde el vértice del angulo recto se traza una perpendicular hasta la hipotenusa.

La semejanza tiene un gran uso en la vida cotidiana ya que se utiliza para hacer la comparación de elementos a escala como en la arquitectura.

Ejemplos:

Actividad

Realiza los siguientes ejercicios en el cuaderno, los ejercicios deberán ser entregados mañana antes de las 2:00 pm 

• Calcule la longitud de los siguientes triángulos

• Calcule la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 metros en el momento que otro árbol que mide 2.5 metros proyecta una sombra de 4 metros.

• En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
• Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
• Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente. Calcula el perímetro del parterre.